在以前articles1 2阶乘设计被称为特别适合研究连续变量,如压力、温度、时间和速度,和分类变量,如化学功能类型、批号和位置。混合设计被称为特别适合研究变量加1或100%,混合、配方、反应、低聚物和聚合物。
我的一个同事有一个应用统计学博士学位和冠军实验设计只要他可以,但从未使用混合统计数据。混合设计要求时,他提到他的客户给我。在他知道我之前(甚至现在当他认为他能侥幸成功),每当他有混合物的研究中,他使用了一个松弛变量,析因设计。
本文讨论了一个松弛变量之间的差异,阶乘设计和混合设计。
一个阶乘设计
制定研究包含三个成分。通过初步评估研究者发现,每个成分的范围应限于在0.3和0.4之间为了达到可用的配方。这可以被使用以下符号:0.30≤≤0.40
0.30 B≤≤0.40
0.30≤≤0.40加元
如果使用标准的阶乘设计,低水平,编码为1,将为每个变量设置为0.30,水平高,编码为+ 1,为0.40。三因子,因子设计这种类型的标准顺序在表1中给出。包括一个中心点的实验和实验评估还包括二次系数。第一列A, B和C所示的编码形式;第二列A, B和C显示与实际水平的成分;第三列A, B和C所示水平标准化的成分。
水平必须规范化,因为几个成分的几个实验的总结并不总比1。所有材料必须总1的总和。实验1、11、13和15成分,总小于1。实验4、6、7、8、10、12和14个成分总量超过1。
现在新的问题出现。实验规范化后,第一个问题是,一些实验规范化水平的成分低于预期的0.3。
另一个问题是,实验1,1,1,1编码的规范化水平实验8 + 1,+ 1,+ 1编码和实验9和0,0,0编码。这可以防止做任何有意义的数学分析。
松弛变量,析因设计
这方面的一个办法是只使用两个双重成分,阶乘设计。第三个因素是称为松弛变量。在这个例子中,A和B是阶乘变量和C是松弛变量。首先,一组A和B的水平集C任何需要得到A + B + C = 1。这是在表2。一个问题是,C变量所需的实验范围之外的瀑布。这是一个松弛的工件,阶乘设计。希望制定低至0.2加元仍将工作。如果没有,没有数据将获得实验4,6,8,并可能没有响应面分析。
假设研究的所有实验数据,当二次回归方程分析了阶乘设计用表2方程的实验会有以下形式。
属性= b0 + bAA + bBB + bABAB + bAAA2 + bBBB2 (1)
响应面产生的松弛,阶乘设计数据表2给出如图2所示。图可以用来预测公式,给出一个特定的结果。例如,一个配方,给90年的价值,就当一个= 0.35和B = 0.40。然后必须设置为0.25加元。
混合设计
另一种方法是研究使用混合配方设计。上述配方范围再次使用的但书+ B + C = 1。实验需要定义一个二次混合数学模型在表3中列出。(我使用相同的响应方程的绳索,阶乘设计计算属性,以便比较。)
当混合的回归方程进行了分析设计,将有以下形式。
属性= aAA + aBB + aCC + aABAB + aACAC + aBCBC (2)
如果所有的系数都显著,人会解释它们说,例如,当增加属性增加了aAA级单位。当然,除了当一个是增加B或C或两者都减少,然后将改变房地产aBB和/或aCC的变化。也会看到一个变化的交互项的贡献AB, AC和BC。增加B或C的评论是相似的。
等一下!这个响应面只有属性从45到70之间的不同。松弛,析因设计性能大约45和140之间的不同。让我们看看发生了什么在松弛,阶乘设计。
解释的松弛方程
图1的松弛,阶乘设计空间可以重绘的混合坐标如图5所示。设计空间是两倍所需的设计空间。灰色区域是引入的额外的设计空间利用不受控制的松弛,松弛变量C的阶乘设计。虽然C所需的范围是0.3到0.4,因为A和B的最大射程每到0.4,不得不去低至0.2加元。灰色地带的配方可能会或可能不会工作或不足之处。
混合设计响应方程方程2中给出。正如我们已经提到的,以下平等拥有:
A + B + C = 1 (3)
可以重新安排给下列方程3:
C = 1 - A - B (4)
如果C在方程2被替换方程4中,松弛方程得到:
属性= aC + (aA - aC + aAC) + (aB - aC + aBC) B +(艺术展- aAC - aBC) aB - aACA2 aBCB2 (5)
如果我们比较方程5方程1见以下:
b0 = aC (6)
英航= (aA - aC + aAC) (6 b)
bB = (aB - aC + aBC) (6)
bAA = - aAC (6 d)
bBB = - aBC (6 e)
方程6到6 e表明C的影响中包含的属性是b0,英航,bB, bAA和bBB系数。这意味着方程1和2是等价的。即情节的响应面方程1已被证明是相当于方程2。
在过去,当一个天真无邪的研究者认为一个从松弛实验设计方差分析表,如果变量表现出显著的影响,研究者将属性效果变化所体现的英航系数的大小。但是,看着方程6 B,如果英航系数是显著的,研究人员不知道如果它是由于产生影响的变量,该变量C或他们的互动,AC。同样的变量,如果bB系数是显著的,研究人员不知道如果它是由于一个影响变量B, C变量或他们的互动,BC。然而,研究人员可以了解C的影响的大小,AC和BC,通过观察b0的系数,bAA和bBB。然后研究者可以做一些心理体操来决定多少C, AC和BC为A或b的影响。在我看来这是更容易使用的混合方程方程2。
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唯一一次我建议使用松弛,阶乘设计如果是绝对知道C对财产没有影响。也就是说,如果研究者知道提前交流,aAC和aBC都是零。另一点原因我喜欢混合设计的简单的例子是,即使三个成分,二次混合设计实验少于quadratic-slack,阶乘设计。然而,如果五个成分研究,例如,二次混合模型只需要15实验+复制和lack-of-fit点,虽然quadratic-slack,阶乘模型需要51实验。
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